昨夜の大晦日は食べ過ぎ飲み過ぎ！
年末年始くらいいいでしょうと毎年そんな感じで，新年も朝から飲んだくれてました🍶
今年は少し反省して，元旦からいつもどおりの生活をします．
それで，今朝も確率統計を勉強．新年早々，早速間違えた問題があったので，備忘録代わりに残しておきます．
問題はこちら
問題（佐藤の確率統計 p.31 例）
父母と子供4人が円卓を囲む場合に，父母が向かい合うような並び方の数と，両親が隣り合うように並ぶ並び方の数を求めよ．
解答1
まず最初に両親が隣り合う場合から．父母と子供4人をそれぞれ，父,母,1,2,3,4と書くことにします．両親が隣り合うので，父と母は固定．つまり，円卓で書くと
このようになります．これを真上の席から始まって矢印の方向に横に並べて書くことにします．つまり，
父母○○○○
です．これは，○に4人の子供を割り当てる問題．つまり，\(4!\)．それに，父母を入れ替えて
母父○○○○
もありうるので，最終的には，
\[4! \times 2 = \mathbf{48通り}\]
というわけです．円順列なので，○父母○○○，○○父母○○，○○○父母○，○○○○父母は，回転すると結局，父母○○○○と同じになるので，カウントしなくてOK（円順列でなければ，これらを考慮してさらに5倍した値が答え）
解答2
さて問題は最初の方の問題です．これを同じやり方で解いて新年早々みごとに間違えた！
父と母が向かい合って座る場合を考えると，図で書くと
こうなるので，これも横一列で書くと，
父○○母○○
となる．単純に○が4つあるので，子供の座り方は\(4!\)通り，父と母の入れ替えも考慮すると\(2\times 4!\)と考えたんですが，これが間違いだった！ちなみに正答は\(4!\)です．
と思いましたが，よく考えてみると実に単純なこと．たとえば○のところに子供の番号を入れたとして，
父12母34
の並びがあったとします．これは，
母34父12
と同じ座り方になります．つまり，父と母を入れ替えると重複してカウントしていることになる．なので，向かい合わせに座る場合は，父と母を入れ替えた分をカウントする必要がない．図で描くと
このようになり，左右は同じです．なので，
\[4! = \mathbf{24通り}\]
が答え．
同じ円卓に座る場合でも，向かい合わせでない場合，たとえば，
父○母○○○
この場合，父と母を入れ替えた分をカウントしないと誤りになる．答えは，\(2\times 4! = 48\)．だけど，
父○○母○○
は入れ替えた分をカウントする必要がなく，答えは，\(4!=24\)．
確認のために，すべて書き出してみます．
父12母34 父12母43 父13母24 父13母42
父14母23 父14母32
父21母34 父21母43 父23母14 父23母41
父24母13 父24母31
父31母24 父31母42 父32母14 父32母41
父34母12 父34母21
父41母23 父41母32 父42母13 父42母31
父43母12 父43母21
ふぅ，疲れた．これで24通り．ここで，この中のどれか1つの並びにおいて，父と母を入れ替えると他のどれかと一致します．
たとえば「父21母43」の父と母を入れ替えて「母21父43」とすると，これは一番最後の「父43母21」と一致します（円順列なので）．
なので，父と母を入れ替えた分をカウントすると重複する．つまり，子供の並びだけを考慮してよいことになります．