二項分布をどういうものか，いつでも思い出せるように備忘録を残しておきます．二項分布って，時間が経つとなぜか忘れちゃうので，少しくどいくらいの説明と例題を残しておきます．
二項分布は，一言で言うと，
反復試行において「ある事象が何回起こるのかを表した確率」
という解釈で覚えることにします．たとえば以下のような問題．
- サイコロを6回ふって，1の目が2回でる確率
- コインを5回投げて，表が3回出る確率
1について
1の目が出た時を○，1以外の目が出た時を●とする．サイコロを6回ふって，1の目が2回でるということは，たとえば，
○●○●●● とか，●●○○●●のような場合を指します．これに番号をつけて①②③④⑤⑥としたとき，①〜⑥の中から○の場所を2つ選ぶという問題になります．たとえば，②と⑤を選んだ場合を(2,5)と表すとし，それは●○●●○●を示します．
ところが，(2,5)も(5,2)も同じ●○●●○●を表すので，これは6つの中から2つを選ぶ「組み合わせ」になります（順列ではない）
したがって，1の目が2回出るケースは，\({}_6\mathrm{C}_2 = 6!/(2!4!) = 15通り\)となり，1の目が出る確率が1/6，1以外の目が出る確率が5/6なので，
\[ P = {}_6\mathrm{C}_2 \Bigl(\frac{1}{6}\Bigl)^2 \Bigl(\frac{5}{6}\Bigl)^4 = 15\times \frac{5^4}{6^6} = \frac{3125}{15552} \]
となります．
2について
同様にコインの表を○，裏を●として，コインを5回なげた場合に3回表が出る確率なので，
●○●○○ とか ○●○●○ とか ○○●●○ のような場合を考える．これを①②③④⑤として，○の位置を①〜⑤の中から3つ選ぶ組み合わせとなるので，\({}_5\mathrm{C}_3 = 5!/(3!2!) = 10通り\)．
また，表が出る確率が1/2で3回，裏が出る確率が1/2で2回，それが10通りあるので，
\[P = {}_5\mathrm{C}_3 \Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^3\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^2 = \frac{5}{16}\]
となる．
二項分布の定義
問題1, 2から，「1回の試行で事象Aの起こる確率を\(p\)，起こらない確率を\(1-p\)とし，\(n\)回反復試行したとき，事象Aが\(x\)回起こる確率を\(P(X=x)\)とすると，
\[P(X=x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x}\]
と表され，これを二項分布といい\(B(n, p)\)と書く．二項分布の平均と分散は，
\[E[X] = np\]
\[V[E] = np(1-p)\]
で表される．
この二項分布，定義は簡単だし平均と分散の計算もとても簡単だけど，どうも忘れてしまう．そこで，以下の実問題に近い設定の問題を想起のために残しておく．
問題1 (佐藤の確率統計 p.195 例）
ある機械で生産された製品の10%が不良品である．この機械で10個の製品を作るときに，そのうちの不良品の個数を\(X\)とする．次のものを求めよ．
(1) \(P(X=9)\) (2) \(E[X]\) (3) \(V[X]\)
解答1
(1) \(n=10\)，\(p=0.1\)なので，
\[P(X=9) = {}_{10}\mathrm{C}_9 (0.1)^9 (0.9)^1 = 9\times 0.1^9 \]
(2) \(E[X] = np = 10\times 0.1 = 1\)
(3) \(V[X] = np(1-p) = 1\times 0.9 = 0.9\)
単に式に代入するだけなので答えは簡単に求まるけど，「二項分布がこういう実問題に使えるんだ」というのがわかって目から鱗だった．
次はちょっとだけ難しくした問題．
問題2 (佐藤の確率統計 p.195 例．自治医大1次）
500円玉3枚を同時に投げる試行を320回続けて行った．2枚が表で1枚が裏である回数の期待値を求めよ．
解答2
n=320なので，pが求まればいい．
3枚同時に投げて2枚が表というのは，表=○，裏=●とすれば，○○●，○●○，●○○の3通り（=\({}_3\mathrm{C}_2\)）．表が出る確率も裏が出る確率も1/2なので，
\[p = {}_3\mathrm{C}_2 \Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^2\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^1 = \frac{3}{8}\]
これを\(p\)とする二項分布は，
\[P(X=x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x(1-p)^{n-x} = {}_{320}\mathrm{C}_x \Bigl(\frac{3}{8}\Bigl)^x\Bigl(\frac{5}{8}\Bigl)^{n-x}\]
となるわけだけど，問いは期待値の計算なので\(E[X]\)を求めればよい．したがって，
\[E[X] = np = 320\times \frac{3}{8} = \mathbf{120}\]
となる．
問題3 （統計学基礎 p.135 例1・改）
ある水族館で飼育されているタコには，サッカーの試合でチームの勝敗を予言する能力があるという．20試合中14試合の結果を的中する確率を求めよ．
解答3
n=20, p=1/2, x=14なので，
\[ P(X=14) = {}_{20}\mathrm{C}_{14} \Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^{14}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^{6} = {}_{20}\mathrm{C}_{14} \Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^{20}\]
ふぅ，これだけ例題を残しておけば，後で読み返したら思い出せるだろう．
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